错误样例及其对我国数学教学的教育启示

错误样例及其对我国数学教学的教育启示

孙小菱  陈银莲

[杭州市健康实验学校，浙江杭州，310000]

[摘 要]  近年来，错误样例成为国内外样例学习研究中备受关注的一个新方向。

文章介绍了错误样例的概念,理论基础，以及在国内外数学领域中已有的研究，

同时，提出错误样例对我国当前数学教学的教育启示。

[关键词]  样例学习；错误样例；数学错误；认知负荷 

 

样例学习就是“从例子中学（Learning from worked examples）”，是指一般呈现给学习者至少两个以上加工过的例子，让其从中习得隐含的规则或深层知识，以此迁移来解决新问题的学习。在数学领域，样例学习已经被普遍地证实是一种非常有效的学习方式了，尤其是在好的样例设计以及学习者积极主动地自我解释样例的时候，可以减轻学生的认知负荷，提高学习效果。

样例学习的样例一般都被传统地认为是正确的样例，但即便我们学习的是正确样例，也有可能导致学生在学习时产生错误的知识。在样例学习中，除了可以对正确样例进行设计之外，还可以在样例组合中加入适量的错误样例，可以加强学生对正、误样例的对比，从而避免错误发生，提高样例的学习效果，这也是一个好的学习方法。同时，在样例的解题步骤中安置错误，可以加深学习者对样例的思考，诱发学习者产生更多的自我解释活动，增加相关认知负荷，从而能提高学习迁移的效果。众多理论和实证研究表明错误样例可以提高学习效果。因此，近年来，错误样例成为国内外样例学习研究中备受关注的一个新方向。

数学学科本身强调逻辑思辨性与知识的精确性，而在学习过程中数学错误又不可避免，因此，使用错误样例教学的优势明显。错误样例学习是将错误分析融入到学习资料设计中，而补救教学则是在学生犯错之后再进行错误分析，相对而言，错误样例学习是一种更加主动、积极处理错误的学习方法。利用好数学错误样例不但能够提高学生思维与认知能力，还能增强对数学的学习兴趣与信心。与此同时，数学错误样例资源还有利于教师对教学进行自我诊断和治疗，改善教学，促进专业成长。因此，在数学教学中，如何将错误样例作为教学资源充分利用，也是一个非常重要的课题。

     一、错误样例的概念

错误样例（learning with erroneous examples）是指样例的解题方案中包含一个或者多个错误，要求学习者去辨别，解释或者改正错误，以促进学习效果的例题（Tsovaltzi，McLaren ，2009）。通常情况下，在学习的初始阶段就呈现错误样例可能不是很有用，因此错误样例是在提供正确的例题之后，再呈现给学习者错误的解题方法以巩固学习者已经习得的知识（Grosse，Renkl，2007）。

当我们的学习目标是正确地解决问题的时候，向学习者呈现错误可能是不可思议的做法，那为什么要探究错误样例的潜在作用呢？下面是几点理由：（1）错误是学习中重要的一部分，却常常被传统教育所忽略，错误可以提供重要的学习机会，因为在学习者进行思考的时候，附带错误可以使他们的反思和自我解释更加全面。例如，Vanlehn(1999)在他的认知技能获得三阶段理论中表明错误可以引起反思，反过来也可以促进学习者对问题更深的理解。（2）正确和错误知识的呈现会引起学习者的认知冲突，因此可以促进学习者建构一个平衡一致的知识结构（Schnotz，2001；Schnotz，1999）。（3）错误样例能增强学生内部动机，激发学生的学习兴趣。学生探索、发现样例中错误的过程本身就是积极而有趣味的，检查错误也能集中学习者的注意力。同时，在错误样例学习中，学习者是处于旁观者的角度审视他人的错误，这和分析自身的错误相比，能减少学习者的焦虑情绪。

    二、错误样例的理论基础

    （一）试误说

学习的本质是一种 “尝试错误” 的过程；而教学，则是引导学习行为不断修正的过程。美国教育家 Edward L.Thorndike 通过一系列的动物试验得出的 “尝试错误理论”，对这一问题的解决提供了很多启示：在重复的尝试中，错误的反应逐渐被摈弃，正确的反应则不断得到加强，直至最后形成固定的 “刺激 — 反应联结”。

    （二）建构主义学习观

建构主义学习观认为, 错误是理想性的学习和发展轨道的一部分，为什么构成错误，如何构成错误，与怎样构成正确的答案一样重要。学生的错误不可能单独依靠正面示范和反复练习得以矫正,必须是经过一个“自我否定 ”的过程。而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学生错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的反思。

    （三）认知技能获得理论模型

根据认知技能获得理论模型通过错误样例学习这样的程序可以促进学习效果。例如，Vanlehn（1999）在他的CASCADE理论中表明在技能获得的初始阶段也是理解的关键阶段，设置一些问题障碍（也即是广义上的错误或者缺乏全面的理解，例如陷入死角，注意到错误，或者对一些事情不确定）可以引起学习者的思潮。更具体地说，他推测在他的障碍-驱动学习（impasse-driven learning）理论的框架中，错误可以引起反思（例如自我解释），反过来又可以导致更深的理解。因此，在错误的样例中包含起引导作用的障碍应该可以促进学习者的学习思潮以及学生的学习效果。

    （四）认知负荷理论

认知负荷理论(Cognitive Load Theory) 认为任何教学中都会引起三种不同类型的认知负荷：内在认知负荷(intrinsic load)、外在认知负荷(extraneous load)和有效认知负荷(germane load)。内在认知负荷是指工作记忆对学习任务本身所包含的信息元素(如概念、规则的基本成分) 的复杂性进行认知加工所承受的认知负荷。外在认知负荷也称为无效负荷或无关负荷，指由学习材料的组织和呈现方式不当施加给工作记忆的负荷。有效认知负荷是指由学习材料的组织和呈现形式所引起的有利于信息加工与获得的认知负荷。有效认知负荷往往是由学习过程中用于建构图式或图式自动化活动所引起的，例如，学习者对样例的自我解释与理解活动，它促使学习者把有限的认知资源分配到有效的学习活动中去，这是有意义的学习过程必需的认知活动。根据认知负荷理论，如果适当地运用错误样例，会增加学习者的自我解释活动，增加学习者的有效认知负荷，那么就有利于学习效果。

三、错误样例在国内外数学领域的相关研究

    （一）错误样例在国外数学领域的相关研究

    Borasi (1994) 通过教育改革实践，指出了错误在数学教学中的重要作用。他在教学中设计“错误跳板探究学习”，探索初中生如何有效利用错误来激发数学探究，通过鼓励学生对数学概念进行批判性思考，来激发反思和探究。结果表明，讨论错误能提高数学学习效果。 

Siegler（2002）提出了一个理论模型，他假定数学学习是可以这样促进的：（1）提高正确解题的概率；（2）降低错误解题的概率。这就为自我解释为什么不正确的解题方法是错误的这种学习方式对学习结果的积极作用提供了依据。事实上，Sielger表明儿童能从被要求既解释正确样例又解释错误样例的学习方式中获益更多，相比较只要求解释为什么正确的解题方案是正确的学习方式。Siegler (2008) 及其同事关于数学排水问题的研究也表明，有自我解释的错误样例有显著效果。

van Dooren等人(2004)在他们的数学实验课上让学生讨论了有关错误的解题方案的问题，明确表明错误样例可以促进学习效果。Grosse 和Renkl （2007）用有关概率计算的实验材料做的实验研究也表明了错误样例的学习效益，但是只是对那些具有很强的先验知识的学习者和对远迁移学习来说。

Melis(2006)分析了在数学学科学习中为什么以及怎么样使用错误样例才是有效的。“为什么”主要强调了错误样例对学习是很有用的，而且也是所有数学应用程序以及数学自身非常需要的。“怎么样”的问题强调了利用错误样例的教学策略以及在的Active Math（数学自助网络学习系统）环境下的实现。Melis 和Kriesell(2009) 对小学生分数概念进行错误样例练习研究， 结果表明，有错误样例的学习小组成绩显著。Tsovaltzi和Melis等人（2009，2010）通过ActiveMath网络教学系统向学生们呈现其他学生犯的普遍的错误，实验结果表明有反馈的错误样例是有益的，并且在ActiveMath网络教学系统下呈现错误样例不会让学生产生厌烦的情绪。

一些跨国研究（如TIMSS和PISA）已经表明了西方国家（如美国和德国）学生的数学知识要比亚洲国家（如中国和日本）学生的数学知识，是因为亚洲国家的数学课程经常包括对错误解题方案的详细分析和讨论。

    （二）错误样例在国内数学领域的相关研究

近年来，在国内，错误样例学习的研究也正在数学领域逐步展开。孙小菱（2012）对大学生概率知识错误样例学习的研究表明错误样例学习是一种有效的学习方式，但是需要具体地考虑到错误样例特征的设计以及学习者的原有知识水平，才能更好地突显出错误样例的学习效益。王蒙等人（2015）通过对小学生学习减法计算错误样例的研究，结果表明错误样例学习能促进中低成就学生概念性知识的获取和程序性知识的远近迁移。孙璪等人（2016）研究了错误样例对高中生学习排列组合的影响，结果表明错误样例对学习排列组合有较好的学习效果。

四、错误样例对数学教学的教育启示

（一）教师要善于利用错误

在数学知识的学习中，错误样例作用已经得到了验证。那么在我国数学教材编排、课堂教学或练习中，科学合理地设计和安排错误样例成为促进学生自主学习，提高学习效果的重要措施。教师应该根据教学内容与目标，选择典型错误，让学生从发现错误到改正错误，从易到难地引导学生探究，从而避免错误的出现，提高学生对知识本身的认识和理解。错误样例练习题可以是选择题式，也可以是问答题式，可以包含反馈或错误标记等。错误样例的呈现可以通过课堂集体剖析的方式，也可以通过课后练习环节自主分析的方式。当然，教师还可开发更多的错误样例呈现方式，如对错误样例进行加工归类，设计数学错误样例专题练习集，制作数学错误样例专题网站等，由学习者根据自己的兴趣爱好或知识薄弱点自主选择学习，激发学习动机，减少焦虑情绪，促进其自我学习、自我评价、自我诊断、自我治疗，从而提高学习效果。

    在这里需要注意的是，虽然错误样例对于培养学生的质疑、探索意识有积极作用，但错误样例并不能完全代替正确样例。新知识的获得不能脱离正确样例的示范，且错误样例一般不会在学习的初始阶段使用，因此在新知识学习过程中，错误样例的使用应该适当，否则会得不偿失。

（二） 学生要学会知错、认错、改错

错误样例学习包括三个认知加工过程：发现错误、解释错误和改正错误，对应在数学教学中，教师则应该指导学生针对错题要知错、认错和改错。知错就是让学生自己检查哪里出了错；认错就是让学生认真分析错误的原因，找到是在哪个知识点出了错；改错就是让学生在找到错误的原因基础上，把错误之处改正过来。因此在数学教学中，教师可通过课堂教学或者练习带领学生集体剖析典型错误，带着学生找错误，分析错误原因，以及改正错误，不断强调错误样例的学习价值，久而久之，让学生自主养成知错、认错、改错的学习习惯，从而避免错误的出现，不断加强对知识本身的掌握。 

新课程改革强调以人为本，注重培养和发展学生的主体意识，倡导自主、合作和探究性的学习方式，倡导学习方式的多样化，培养学生的创新能力。错误样例学习活动能够调动学生自主探究的积极性，产生的认知冲突能够激发内部学习动机，同时可以提高学生的质疑精神和探究能力，使学生能够更加牢固地掌握知识，这正符合新课程改革的理念，对落实新课程改革也有积极的借鉴意义。

 

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